Norme induite
Plus grande valeur du rapport entre la
Norme de \(Ax\) et la norme de \(x\). $$\lVert A\rVert:=\sup_{x\ne0}\frac{\lVert Ax\rVert}{\lVert x\rVert}$$
- on a les inégalités :
- \(\lVert Ax\rVert\leqslant\lVert A\rVert\lVert x\rVert\)
- \(\lVert AB\rVert\leqslant\lVert A\rVert \lVert B\rVert\)
- pour calculer une norme induite, on peut utiliser l'existence de \(x\in{\Bbb K}^n\) tel que \(\lVert x\rVert=1\) et \(\lVert A\rVert=\lVert Ax\rVert\)
- si \(\lVert\cdot\rVert\) est une norme induite, alors \(\lVert I\rVert=1\)
- on a l'inégalité fondamental optimale : toute norme induite est supérieure au Rayon spectral : $$\rho(A)\leqslant\lVert A\rVert$$
Exercices
